"A végtelenbe és tovább!"
Mélyen gondolkodott már a Buzz Lightyear híres mondatában is a „Toy Story” filmekben? Valószínűleg nem. De talán néha felnézett az éjszakai égboltra, és azon tűnődött, hogy maga a végtelenség jellege van.
A végtelenség egy furcsa fogalom, amely szerint az emberi agynak nehéz körülbecsülni a korlátozott ismereteit. Azt mondjuk, hogy a világegyetem lehet végtelen, de valóban csak örökké tarthat-e? Vagy a pi számjegyei a tizedesjegy után - valóban végtelenül futnak-e, mindig sokkal pontosabb pontosságot adva a kör kerülete és sugara között? És Buzznek igaza lehet? Van valami a végtelennél?
A gondolkodásmódot célzó spekulációk kezelése érdekében a Live Science felhívta a Philadelphiai Pennsylvaniai Egyetemen lévő matematikus, Henry Towsner segítségét, aki olyan kedves volt, hogy megválaszolja a következő kérdést: "Meg tudja számolni a múlt végtelenségét?" (Figyelmeztetni kell: ez trükkös lesz.)
Towsner szerint a végtelenség egy furcsa helyen ül: A legtöbb ember úgy érzi, hogy van valamilyen intuíciója a koncepcióról, de minél inkább gondolkodnak rajta, annál furcsább lesz.
A matematikusok viszont nem gondolkodnak gyakran a végtelenről mint önálló fogalomról - tette hozzá. Inkább különféle módszereket alkalmaznak arra, hogy gondolkodjanak rajta annak sok szempontjából.
Például léteznek különböző méretű végtelenségek. Ezt a német matematikus, Georg Cantor bizonyította az 1800-as évek végén, a skóciai St Andrews-i egyetem története szerint.
Cantor tudta, hogy a természetes számok - vagyis az egész pozitív számok, mint például 1, 4, 27, 56 és 15 687 - örökre megmaradnak. Végtelenek, és ők is azok, amelyeket a dolgok számlálására használunk, ezért úgy határozta meg őket, hogy "számíthatatlanul végtelenek", a történelemről, a matematikáról és más témákról készített hasznos oldal szerint, amelyet Charles Fisher Cooper oktatási rajzfilmes írt.
A számolhatatlanul végtelen számú csoportok érdekes tulajdonságokkal rendelkeznek. Például a páros számok (2, 4, 6 stb.) Szintén számlálhatatlanul végtelenek. És bár technikailag felük annyi, mint amennyit magába foglal a teljes természetes számok halmaza, ők továbbra is ugyanazok a végtelenek.
Más szavakkal, az összes páros számot és a természetes számokat egymás mellé helyezheti két oszlopba, és mindkét oszlop a végtelenségig megy, de ugyanaz a végtelenség "hossza". Ez azt jelenti, hogy a megszámlálható végtelenség fele még mindig végtelen.
De Cantor nagyszerű betekintést nyert, hogy felismerje, hogy vannak más számkészletek is, amelyek elszámolhatatlanul végtelenek. A valós számok - amelyek magukban foglalják a természetes számokat, valamint a frakciókat és az irracionális számokat, mint például a pi - sokkal végtelenek, mint a természetes számok. (Ha azt szeretné tudni, hogyan csinálta Cantor, és hogyan tud dolgozni néhány matematikai jelöléssel, akkor nézd meg ezt a munkalapot a Maine Egyetemen.)
Ha az összes természetes számot és a valós számokat egymás mellé sorolná két oszlopban, akkor a valós számok túlmutatnának a természetes számok végtelenén. Kantor később őrült lett, valószínűleg olyan okok miatt, amelyek nem kapcsolódtak a végtelenséggel kapcsolatos munkájához - mondta Cooper.
Mi számít?
Tehát vissza a múlt végtelenség számolásának kérdéséhez. "A matematika arra készteti a kérdést, hogy" ez valójában mit jelent? "- mondta Towsner. "Mit ért a múlt végtelenség számításával?"
A probléma megoldása érdekében Towsner beszélt a rendszámokról. A bíboros számoktól (1, 2, 3 és így tovább) eltérően, amelyek megmutatják, hogy hány dolog van egy halmazban, az ordinálokat pozícióik határozzák meg (első, második, harmadik stb.), És a matematikába is bevezették őket Cantor, a matematikai weboldal Wolfram MathWorld szerint.
A rendszámon az omega nevû fogalom szerepel, amelyet görög letter betû jelöl - mondta Towsner. A ω szimbólumot úgy definiáljuk, mint az a dolog, amely az összes többi természetes szám után következik - vagy, amint azt Cantor hívta, az első transzfinit rendrend.
De a számok egyike az, hogy a végére mindig adhat még egyet - mondta Towsner. Tehát létezik olyan dolog, mint ω + 1, ω + 2, sőt ω + ω. (Ha kíváncsi vagy, végül megüt egy ω1 nevű számot, amelyet az első kiszámíthatatlan rendnek hívnak.)
És mivel a számolás olyan, mint további számok hozzáadása, ezek a fogalmak bizonyos módon lehetővé teszik a végtelenség múltbeli számlálását - mondta Towsner.
Mindezek furcsasága része annak, hogy a matematikusok ragaszkodnak ahhoz, hogy szigorúan meghatározzák kifejezéseiket - tette hozzá. Ha nincs minden rendben, nehéz elválasztani normális emberi intuíciónkat a matematikailag bebizonyíthatótól.
"A matematika azt mondja neked:" Mélyrehatóan, mi számít? "- mondta Towsner.
A halandók számára ezeket az ötleteket nehéz lehet teljes mértékben kiszámítani. Hogyan pontosan foglalkoznak a dolgozó matematikusok ezzel a vicces üzlettel mindennapi kutatásuk során?
"Nagyon sok a gyakorlat" - mondta Towsner. "Új intuíciókat fejlesztsz ki expozícióval, és amikor az intuíció kudarcot vall, akkor azt mondhatják:" Beszélünk erről a pontos lépésről lépésre szigorú bizonyítékról. " Tehát ha ez a bizonyíték meglepő, akkor is ellenőrizhetjük, hogy helyes-e, és megtanulhatunk egy új intuíció kialakításához.
