A matematikusok csapata csak egy nagy lépést tett egy 160 éves, millió dolláros matematikai kérdés megválaszolása felé?
Talán. A személyzet számos más, kisebb kérdést megoldott a számelméletnek nevezett területen. És ennek során újból megnyitották egy régi utat, amely végül választ adhat a régi kérdésre: a Riemann-hipotézis helyes?
A Reimann hipotézis alapvető matematikai feltevés, amelynek óriási következményei vannak a matematika többi részére. Alapját képezi sok más matematikai ötletnek - de senki sem tudja, hogy igaz. Érvényessége a matematika egyik legismertebb nyitott kérdévé vált. Ez a hét "Millenniumi probléma" egyike, amelyet 2000-ben állapítottak meg, azzal az ígérettel, hogy bárki megoldja őket, 1 millió dollárt nyer. (Azóta csak az egyik problémát oldották meg.)
Honnan jött ez az ötlet?
Már 1859-ben egy német matematikus, Bernhard Riemann nevű javaslatot tett egy választ a különösen bonyolult matematikai egyenletre. Hipotézise így szól: A Riemann zeta-függvény minden nem triviális nullájának valódi része 1/2. Ez egy nagyon elvont matematikai kijelentés, annak függvényében, hogy milyen számokat helyezhet be egy adott matematikai függvénybe, hogy ez a függvény nulla legyen. De kiderül, hogy nagyon fontos, legfontosabb azokkal a kérdésekkel kapcsolatban, hogy milyen gyakran fogsz találkozni prímszámokkal, amikor beleszámolsz a végtelenbe.
Később visszatérünk a hipotézis részleteire. De fontos tudnunk, hogy ha a Riemann-hipotézis igaz, akkor a matematika sok kérdésére válaszol.
"Olyan gyakran, a szám elméletében, hogy a Riemann-hipotézist feltételezve véget ér, akkor mindenféle más eredményt bizonyítani tudsz" - mondta Lola Thompson, az Ohio-i Oberlin Főiskola számtémikusa, aki nem vett részt ebben a legújabb kutatásban, mondta.
Gyakran, mondta a Live Science-nek, a számtanulók először bebizonyítják, hogy valami igaz, ha a Riemann-hipotézis igaz. Akkor ezt a bizonyítékot használják egyfajta lépésként egy bonyolultabb bizonyíték felé, amely azt mutatja, hogy eredeti következtetésük igaz, függetlenül attól, hogy a Riemann-hipotézis igaz-e.
A tény, hogy ez a trükk működik, sok matematikát meggyőzi arról, hogy a Riemann-hipotézisnek igaznak kell lennie.
De az igazság az, hogy senki sem tudja biztosan.
Egy kis lépés a bizonyítás felé?
Tehát hogyan tűnt ez a kis matematikus csapat, hogy közelebb hozza minket a megoldáshoz?
"Amit tettünk a cikkünkben" - mondta Ken Ono, az Emory Egyetem számos teoretikusa és az új bizonyíték társszerzője - "egy nagyon technikai kritériumot vizsgáltunk át, amely megegyezik a Riemann-hipotézissel ... és bebizonyítottuk ennek a kritériumnak a nagy részét. "
A "kritérium, amely egyenértékű a Riemann-hipotézissel" ebben az esetben egy külön állításra utal, amely matematikailag egyenértékű a Riemann-hipotézissel.
Első pillantásra nem egyértelmű, hogy a két állítás miért kapcsolódik egymáshoz. (A kritérium a Jensen polinomok hiperbolikusságának nevezett dolgokhoz kapcsolódik.) De az 1920-as években George Pólya nevû magyar matematikus bizonyította, hogy ha ez a kritérium igaz, akkor a Riemann-hipotézis igaz - és fordítva. Ez egy régi javasolt út a hipotézis bizonyításához, ám ezt nagyrészt elhagyták.
Ono és kollégái egy, a Természettudományi Akadémia (PNAS) folyóiratban május 21-én megjelent cikkben bizonyították, hogy sok esetben sok esetben a kritérium igaz.
De a matematikában sokan nem elégek bizonyítéknak. Még mindig vannak olyan esetek, amikor nem tudják, hogy a kritérium igaz vagy hamis.
"Olyan ez, mint egy millió számú Powerball játék" - mondta Ono. "És tudod az összes számot, kivéve az utolsó 20-at. Ha az utóbbi 20 szám közül valamelyiknek hibája van, akkor elveszíti. Az összes még széteshet."
A kutatóknak még fejlettebb bizonyítékokat kell kidolgozniuk, hogy a kritérium minden esetben igaz legyen, ezzel igazolva a Riemann-hipotézist. És nem világos, hogy milyen messze van ilyen bizonyíték - mondta Ono.
Szóval, mekkora üzlet ez a papír?
A Riemann-hipotézis szempontjából nehéz megmondani, milyen nagy üzlet ez. Sok attól függ, hogy mi történik a következőkkel.
"Ez csak egy a Riemann-hipotézis sok egyenértékű megfogalmazásának" - mondta Thompson.
Más szavakkal: sok más ötlet is létezik, amelyek - hasonlóan ehhez a kritériumhoz - bizonyítják, hogy a Riemann-hipotézis igaz, ha magukat bizonyítják.
"Tehát nagyon nehéz tudni, hogy mekkora az előrelépés, mert egyrészt ebben az irányban haladt előre. De annyi ekvivalens megfogalmazás létezik, hogy ez az irány talán nem fogja meghozni a Riemann-hipotézist. Talán az egyik ehelyett a másik egyenértékű tétel, ha valaki bizonyítani tudja ezek egyikét "- mondta Thompson.
Ha a bizonyíték ezen a téren halad meg, akkor ez valószínűleg azt jelenti, hogy Ono és munkatársai kidolgozták a Riemann-hipotézis megoldásának fontos alapját. De ha valahol máshol jelenik meg, akkor ez a cikk kevésbé fontosnak bizonyul.
Ennek ellenére a matematikusok lenyűgözőek.
"Bár ez még messze van a Riemann-hipotézis bizonyításától, ez nagy előrelépés" - írta Encrico Bombieri, a Princeton-szám elmélete, aki nem vett részt a csapat kutatásában. "Kétségtelen, hogy ez a cikk további alapvető munkát ösztönöz majd a számelmélet más területein, valamint a matematikai fizikában is."
(Bombieri 1974-ben elnyerte a Fields Medalot - a matematika legrangosabb díját - nagyrészt a Riemann-hipotézissel kapcsolatos munkáért.)
Mit is jelent a Riemann-hipotézis?
Megígértem, hogy visszatérünk ehhez. Itt ismét a Riemann-hipotézis: A Riemann-zeta-függvény minden nem triviális nullájának valódi része 1/2.
Bontjuk le azt, ahogyan Thompson és Ono magyarázták.
Először is, mi a Riemann zeta funkció?
A matematikában a függvény a különféle matematikai nagyságok közötti kapcsolat. Egy egyszerű így néz ki: y = 2x.
A Riemann zeta funkció ugyanazokat az alapelveket követi. Csak ez sokkal bonyolultabb. Így néz ki ez.
Ez egy végtelen sorozat összege, ahol minden egyes kifejezés - az első néhány 1/1 ^ s, 1/2 ^ s és 1/3 ^ s - egészül ki az előző kifejezésekhez. Ezek az ellipszisek azt jelentik, hogy a sorozat a funkcióban örökké így folytatódik.
Most meg tudjuk válaszolni a második kérdést: Mi a nulla a Riemann zeta függvénynek?
Ez könnyebb. A függvény "nulla" bármely szám, amelyet beírhat x-hez, ami a függvény nullával egyenlő.
Következő kérdés: Mi az egyik ilyen nulla "valódi része", és mit jelent, hogy az egyenlő 1/2-del?
A Riemann zeta függvény magában foglalja azt, amit a matematikusok "összetett számoknak" hívnak. A komplex szám így néz ki: a + b * i.
Ebben az egyenletben az "a" és "b" minden valós számot jelent. A valós szám lehet mínusz 3-tól nulláig, 4,9234, pi-ig vagy 1 milliárd értékig. De van egy másik szám is: képzeletbeli számok. Képzeletbeli számok akkor fordulnak elő, ha a negatív szám négyzetgyökét veszik fel, és fontosak, mindenféle matematikai összefüggésben megjelennek.
A legegyszerűbb képzeletbeli szám a -1 négyzetgyöke, amelyet "i" -vel írunk. A komplex szám egy valós szám ("a"), plusz egy másik valós szám ("b") i-szer. A komplex szám "valós része" az, hogy "a".
A Riemann-zéta-függvény néhány nulla -10 és 0 közötti negatív egész számot nem számít a Reimann-hipotézishez. Ezeket "triviális" nulláknak tekintik, mivel valós számok, nem összetett számok. Az összes többi nulla "nem triviális" és komplex szám.
A Riemann-hipotézis kimondja, hogy amikor a Riemann-zeta függvény nullát keresi (kivéve azokat a nullákat, amelyek -10 és 0 között vannak), akkor a komplex szám valós részének 1/2-nek kell lennie.
Ez a kis állítás talán nem tűnik túl fontosnak. De ez. És valószínűleg csak egy tizenévesek vagyunk közelebb ahhoz, hogy megoldjuk.
